Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên đường cao AH cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, ta có AM = MC và AN = NB.

Gọi I là trung điểm của AB. Ta có AI = IB và AM = MC, nên tam giác AIM đồng dạng với tam giác CMI theo nguyên tắc đồng dạng tam giác.

Tương tự, gọi J là trung điểm của AC. Ta có AJ = JC và AN = NB, nên tam giác ANJ đồng dạng với tam giác BNJ theo nguyên tắc đồng dạng tam giác.

Suy ra, ta có tứ giác AMIJ và CNJB là tứ giác đồng dạng.

Gọi P là giao điểm của AI và HN. Ta có:

- Trong tam giác AIM, ta có MP // AI (do M là hình chiếu vuông góc của H trên AB).
- Trong tam giác HNJ, ta có NP // HN (do N là hình chiếu vuông góc của H trên AC).

Vậy, ta có MP // AI và NP // HN. Từ đó, ta suy ra MP // AI // HN // NP.

Gọi Q' là giao điểm của MQ và HN. Ta sẽ chứng minh Q' = Q.

Áp dụng định lí Thales trong tam giác HNJ, ta có:

$\frac{Q'N}{Q'H} = \frac{MN}{MH}$

Vì MN = MH (do M là hình chiếu vuông góc của H trên AB), nên ta có:

$\frac{Q'N}{Q'H} = 1$

Tương tự, áp dụng định lí Thales trong tam giác AIM, ta có:

$\frac{Q'M}{Q'I} = \frac{MN}{MI}$

Vì MN = MI (do M là trung điểm của AB), nên ta có:

$\frac{Q'M}{Q'I} = 1$

Từ hai phương trình trên, ta suy ra Q'N = Q'H và Q'M = Q'I.

Do đó, ta có Q' là trung điểm của HN và MI.

Tuy nhiên, ta đã biết K là trung điểm của CH và JI.

Vậy, ta có Q' = K.

Từ đó, ta suy ra MQ // KN.

Vậy, ta đã chứng minh được MQ song song KN.