a. Ta có AM = AN (theo đề bài). Khi đó, tam giác AMN là tam giác cân tại A, nên ta có AMO = ANO (góc đỉnh).

Tiếp theo, ta có các đường thẳng vuông góc với AB và AC tại M và N, nên ta có MH ⊥ AB và NH ⊥ AC. Khi đó, ta có MH = NH (do cạnh huyền của tam giác vuông bằng nhau).

b. Ta có MH ⊥ AB và NH ⊥ AC, nên ta có MH || NH (do cạnh huyền của tam giác vuông song song với cạnh đáy).

Khi đó, ta có ∠HMB = ∠HNC (do MH || NH và cùng chắn cung MN trên đường tròn đường kính MN).

Vì tam giác ABC cân ở A, nên ta có ∠HMB = ∠HAB và ∠HNC = ∠HAC.

Do đó, ta có ∠HAB = ∠HAC, tức là tam giác AHB cân tại H.

Vì tam giác AHB cân tại H, nên ta có HB = HC (do cạnh đáy của tam giác cân bằng nhau).

Từ đó, ta cũng có AH = AC - HC = BC.

c. Gọi Q là trung điểm của MN. Ta cần chứng minh ba điểm A, Q, H thẳng hàng.

Vì Q là trung điểm của MN, nên ta có MQ = NQ.

Khi đó, ta có ∠MQN = ∠NQM (góc đỉnh).

Vì MH ⊥ AB và NH ⊥ AC, nên ta có ∠HMQ = ∠HNQ = 90° (góc vuông).

Do đó, ta có hai góc cùng nhìn MQN và HMQ bằng nhau, tức là tam giác MQN và tam giác HMQ đồng dạng.

Vì tam giác MQN và tam giác HMQ đồng dạng, nên ta có ∠MQH = ∠NQH (góc đỉnh).

Vì MQ = NQ (Q là trung điểm của MN), nên ta có ∠MQH = ∠NQH và ∠MQH = ∠NQH = 90° (góc vuông).

Do đó, ta có hai góc cùng nhìn MQH và NQH bằng nhau, tức là tam giác MQH và tam giác NQH đồng dạng.

Vì tam giác MQH và tam giác NQH đồng dạng, nên ta có MH/HQ = NH/HQ, suy ra MH = NH.

Vì MH = NH, nên ta có A, Q, H thẳng hàng (do Q là trung điểm của MN và MQH là tam giác đồng dạng).