P = x2 + 5y2 + 4xy + 6x + 16y + 32

⇒ P = x2 + (4xy + 6x) + 5y2 + 16y + 32

⇒ P = x2 + 2x(2y + 3) + (2y + 3)2 - (2y + 3)2 + 5y2 + 16y + 32

⇒ P = [x + (2y + 3)]2 - 4y2 - 12y - 9 + 5y2 + 16y + 32

⇒ P = (x + 2y + 3)2 + y2 + 4y + 23

⇒ P = (x + 2y + 3)2 + (y + 2)2 + 19

Vì (x + 2y + 3)2 ≥ 0 với mọi x, y ∈ R

(y + 2)2 ≥ 0 với mọi y ∈ R

⇒ P = (x + 2y + 3)2 + (y + 2)2 + 19 ≥ 19 với mọi x, y ∈ R

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x + 2y + 3 = 0 và y + 2 =0

Suy ra, x = 1 và y = -2

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 tại x = 1 và y = -2.

• Có P = x2 + 5y2 + 4xy + 6x + 16y + 32
•  
•          = [(x2 + 4xy + 4y2) + 6x + 12y + 9] + (y2 + 4y + 22) + 19
•  
•          = [(x + 2y)2 + 2(x + 2y).3 + 32 ] + (y + 2)2 + 19
•  
•          = (x + 2y + 3)2 + (y + 2)2 + 19
•  
• Thấy (x + 2y + 3)2 ≥ 0 với mọi x; y
•  
•          (y + 2)2 ≥ 0 với mọi y
•  
• => (x + 2y + 3)2 + (y + 2)2 ≥ 0 với mọi x; y
•  
• => (x + 2y + 3)2 + (y + 2)2 + 19 ≥ 19 với mọi x; y
•  
• => P ≥ 19 với mọi x; y
•  
• Dấu "=" xảy ra khi x + 2y + 3 = 0 và y + 2 = 0