Cho ba số thực a, b, c khác 0 thoả mãn a(1/b + 1/c) + b(1/c + 1/a) + c(1/a + 1/c) = - 2. Chứng minh rằng (a + b)(b + c)(c + a) = 0

Ta có:
a(1/b+1/c)+ b(1/c+1/a)+ c(1/a+1/c)= -2
⇔ a/b + a/c + b/c + b/a + c/a + c/b = -2
⇔ (a/b + b/a) + (a/c + c/a) + (b/c + c/b) = -2
⇔ (a^2 + b^2)/(ab) + (a^2 + c^2)/(ac) + (b^2 + c^2)/(bc) = -2
⇔ (a^2 + b^2 + c^2)/(ab + ac + bc) = -2
⇔ a^2 + b^2 + c^2 = -2(ab + ac + bc)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
a^2 + b^2 + c^2 ≥ 2(ab + ac + bc)

Vậy, ta có:
-2(ab + ac + bc) ≥ 2(ab + ac + bc)
⇔ -4(ab + ac + bc) ≥ 0
⇔ ab + ac + bc ≤ 0

Giả sử (a+b)(b+c)(c+a) ≠ 0, tức là (a+b)(b+c)(c+a) > 0.
Khi đó, ta có:
ab + ac + bc + 2abc > 0

Từ hai bất đẳng thức trên, suy ra:
-4(ab + ac + bc) > ab + ac + bc + 2abc
⇔ -5(ab + ac + bc) > 2abc
⇔ -5(ab + ac + bc)/(abc) > 2
⇔ -5/(ab + ac + bc) > 2/(abc)

Vì ab + ac + bc ≤ 0 và abc ≠ 0 (vì a, b, c khác 0), nên -5/(ab + ac + bc) ≤ 0 và 2/(abc) > 0.
Do đó, -5/(ab + ac + bc) không thể lớn hơn 2/(abc).

Vậy, giả sử đề bài sai.