Để chứng minh phương trình (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2), ta sẽ sử dụng công thức nhân đôi:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Áp dụng công thức này vào biểu thức (ac + bd)2, ta có:

(ac + bd)2 = (ac)2 + 2(ac)(bd) + (bd)2

Tương tự, áp dụng công thức nhân đôi vào biểu thức (ad – bc)2, ta có:

(ad – bc)2 = (ad)2 – 2(ad)(bc) + (bc)2

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng:

2(ac)(bd) + 2(ad)(bc) = 0

Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng tích vô hướng của hai vector:

(a1, b1) và (a2, b2) có tích vô hướng là a1a2 + b1b2

Áp dụng tích vô hướng vào biểu thức 2(ac)(bd) + 2(ad)(bc), ta có:

2(ac)(bd) + 2(ad)(bc) = 2(ab)(cd) + 2(ab)(cd) = 4(ab)(cd)

Vì vậy, ta có 2(ac)(bd) + 2(ad)(bc) = 4(ab)(cd)

Từ đó, ta có:

(ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (ac)2 + 2(ac)(bd) + (bd)2 + (ad)2 – 2(ad)(bc) + (bc)2

= (ac)2 + (bd)2 + (ad)2 + (bc)2 + 2(ac)(bd) – 2(ad)(bc)

= (a2 + b2)(c2 + d2) + 2(ab)(cd) – 2(ab)(cd)

= (a2 + b2)(c2 + d2)

Vậy, ta đã chứng minh được phương trình (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2).