a) Ta có:
$\widehat{ABE} = \widehat{ACB}$ (cùng nằm trên cùng một cung AB của đường tròn (O))
$\widehat{ADE} = \widehat{ACB}$ (cùng nằm trên cùng một cung AD của đường tròn (O))
Vậy ta có $\widehat{ABE} = \widehat{ADE}$, suy ra tứ giác ADBE là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có:
$\widehat{ADE} = \widehat{ACB}$ (cùng nằm trên cùng một cung AD của đường tròn (O))
$\widehat{AEF} = \widehat{ACB}$ (cùng nằm trên cùng một cung AE của đường tròn (O))
Vậy ta có $\widehat{ADE} = \widehat{AEF}$, suy ra tam giác ADE và tam giác AEF đồng dạng.
Do đó, ta có $\frac{AD}{AE} = \frac{AE}{AF}$, suy ra $AD \cdot AF = AE^2$.

c) Gọi N là trung điểm của BC. Ta có:
$\widehat{MAB} = \widehat{MCB}$ (cùng nằm trên cùng một cung MB của đường tròn (O))
$\widehat{MBA} = \widehat{NCB}$ (cùng nằm trên cùng một cung NB của đường tròn (O))
Vậy ta có $\widehat{MAB} = \widehat{MBA}$, suy ra tam giác MAB là tam giác cân tại M.
Do đó, ta có $MA \perp AB$.
Gọi P' là giao điểm thứ hai của MA và đường tròn (O). Ta cần chứng minh P' nằm trên đoạn OB.
Giả sử P' không nằm trên đoạn OB, suy ra P' nằm ngoài đoạn OB.
Khi đó, ta có $\widehat{P'OB} > 90^\circ$ và $\widehat{P'BO} > 90^\circ$.
Nhưng $\widehat{P'OB} + \widehat{P'BO} = \widehat{MOB} = 90^\circ$ (do OB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B).
Vậy giả thuyết P' không nằm trên đoạn OB là sai.
Vậy P' nằm trên đoạn OB.
Do đó, P' chính là P.
Gọi I' là giao điểm của PQ và BC. Ta cần chứng minh I' là trung điểm của PQ.
Ta có $\widehat{PQI'} = \widehat{PBI'}$ (do PQ và BC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B)
Và $\widehat{PBI'} = \widehat{PBI} = 90^\circ$ (do PI vuông góc với OB)
Vậy ta có $\widehat{PQI'} = 90^\circ$, suy ra I' nằm trên đường thẳng vuông góc với OB tại P.
Nhưng I' cũng nằm trên đường thẳng vuông góc với OB tại I (theo định nghĩa của I).
Vậy I' chính là I.
Do đó, I là trung điểm của PQ.