Đây là một phương trình Pell-Fermat, có dạng x^2 - Dy^2 = 1, trong đó D là một số tự nhiên không phải là số chính phương.

Trong trường hợp này, D = 12. Ta cần tìm tất cả các cặp số nguyên tố (x, y) thỏa mãn phương trình x^2 - 12y^2 = 1.

Để giải phương trình Pell-Fermat, ta sử dụng phương pháp lặp.

Bước 1: Tìm nghiệm đầu tiên (x0, y0) bằng cách tìm căn bậc hai của D và làm tròn lên:

√D = √12 ≈ 3.464

Ta có x0 = 7 và y0 = 2.

Bước 2: Tìm nghiệm tiếp theo (x1, y1) bằng cách lặp lại công thức sau:

x1 = x0x + Dy0y
y1 = x0y + y0x

Áp dụng vào phương trình x^2 - 12y^2 = 1, ta có:

x1 = 7x + 12y
y1 = 2x + 7y

Bước 3: Lặp lại bước 2 để tìm các nghiệm tiếp theo cho đến khi tìm được tất cả các nghiệm.

Áp dụng công thức, ta có:

x1 = 7x + 12y = 7(7) + 12(2) = 49 + 24 = 73
y1 = 2x + 7y = 2(7) + 7(2) = 14 + 14 = 28

Vậy, cặp số nguyên tố (x, y) thỏa mãn phương trình x^2 - 12y^2 = 1 là (7, 2), (73, 28).