Vì AM = BM và BN = CN,
  nên tam giác ABM và ACN là tam giác cân tại M và N.
 Ta có: ∠BAM = ∠ABM (do tam giác ABM cân tại M)
∠CAN = ∠ACN (do tam giác ACN cân tại N)
      Vì tam giác đều ABC nên ta có: ∠BAC = 60°
 Do đó: ∠BAM + ∠CAN = ∠ABM + ∠ACN = ∠BAC = 60°
 Vậy ta có ∠BAM + ∠CAN = 60°. Từ đó,
   Ta suy ra ∠BAP + ∠CAP = 180° - (∠BAM + ∠CAN) = 180° - 60° = 120°. Vì ∠BAP + ∠CAP = 120°,
 nên B, P, C cùng thuộc một đường tròn (đường tròn ngoại tiếp tam giác BPC).