Cho hình bình hành abcd gọi o là giao điểm của hai đường chéo trên ab lấy điểm k trên cd lấy điểm i sao cho ak=ci

Để chứng minh rằng ba điểm K, O, I thẳng hàng, ta cần chứng minh rằng tứ giác AKCI là tứ giác điều hòa.

Đầu tiên, ta có AK = CI (theo đề bài).

Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng đường thẳng AO đi qua điểm đối xứng của đường thẳng BO qua đường chéo BD.

Gọi M là điểm đối xứng của B qua đường chéo BD. Ta có BM || AC (do hình bình hành ABCD). Vì vậy, ta có:

∠BMA = ∠ACB (cùng là góc đối)

∠BAM = ∠CBA (cùng là góc đối)

Do đó, tứ giác ABMA là tứ giác điều hòa.

Tương tự, ta có tứ giác CDIM là tứ giác điều hòa.

Vì tứ giác ABMA và tứ giác CDIM là tứ giác điều hòa, nên ta có:

(A, K; O, M) = -1 và (C, I; O, M) = -1.

Từ đó, ta suy ra (A, K; O, M) = (C, I; O, M).

Vì O là giao điểm của AC và BD, nên ta có (A, K; O, M) = (C, I; O, M) = -1.

Do đó, tứ giác AKCI là tứ giác điều hòa.

Vì tứ giác AKCI là tứ giác điều hòa, nên ta có ba điểm K, O, I thẳng hàng.

Các đường thẳng AC, BD, KI đồng quy.