a) Ta có ΔABC vuông tại B, với AB = 3cm và BC = 4cm. Áp dụng định lý Pythagoras, ta có:
AC^2 = AB^2 + BC^2
AC^2 = 3^2 + 4^2
AC^2 = 9 + 16
AC^2 = 25
AC = 5cm

Vì BI là phân giác của góc ABC, nên ta có:
∠ABI = ∠CBI
Vì ∠ABC = 90°, nên ∠ABI + ∠CBI = 90°
Do đó, ∠ABI = ∠CBI = 45°

Vì ∠ABI = ∠CBI = 45°, nên ∠ACI = 90° - ∠ABI = 90° - 45° = 45°
Vậy CI cũng là cạnh của tam giác vuông cân, nên CI = AC = 5cm.

b) Ta có ∠ABC = ∠HBC (do BH là đường cao của tam giác ABC)
Vì ∠ABC = ∠HBC = 90°, nên tam giác ABC và tam giác HBC có một góc bằng nhau.
Do đó, theo định lý góc giữa các cạnh của hai tam giác đồng dạng, ta có ΔBAC đồng dạng với ΔHBC.

Vì ΔBAC đồng dạng với ΔHBC, nên ta có tỉ số đồng dạng:
AB/BC = BH/CH
3/4 = BH/CH
CH = (4/3) * BH
CH = (4/3) * 3
CH = 4cm

c) Vì BC là đường cao của tam giác ABC, nên ∠BCH = 90°.
Vì BC là đường cao của tam giác ABC, nên ∠HCB = 90°.
Vì ∠HCB = 90°, nên ∠HCK = ∠HCB - ∠BCK = 90° - 45° = 45°.
Vì ∠HCK = 45°, nên ∠HCK = ∠CDA (do CD song song với HK).
Do đó, ΔCHK đồng dạng với ΔCDA.

Vì ∠HCK = ∠CDA = 45°, nên tam giác CHK và tam giác CDA có một góc bằng nhau.
Do đó, theo định lý góc giữa các cạnh của hai tam giác đồng dạng, ta có:
BC^2 = CK * CD

d) Ta đã biết BD = 7cm.
Vì ∠BDC = ∠BAC = 45° (do BD song song với AC), nên tam giác BDC và tam giác BAC có một góc bằng nhau.
Do đó, theo định lý góc giữa các cạnh của hai tam giác đồng dạng, ta có:
BC^2 = BD * BA

Vậy diện tích ΔCHK = (1/2) * CH * CK = (1/2) * 4 * 7 = 14 cm^2.