bảng xét dấu
x          2      5
x-2    -  0+       +
x-5     -    -    0+
nếu x<2 thì 2-x +5-x =3x+1(bạn tự tìm x nhé)
nếu   2<x< x-2 +5-x =3x+1 (bạn tự tìm x nhé)
nếu x>5 x - 2 + x - 5 = 3x + 1(bạn tự tìm x nhé)
 

Để giải phương trình \( |x - 2| + |x - 5| = 3x + 1 \), chúng ta sẽ phân tích nó thành các trường hợp tùy thuộc vào khoảng giá trị của \( x \).

1. Khi \( x \geq 5 \): Ta có \( |x - 2| = x - 2 \) và \( |x - 5| = x - 5 \). Đặt vào phương trình, ta có:
\[ (x - 2) + (x - 5) = 3x + 1 \]
\[ 2x - 7 = 3x + 1 \]
\[ 2x - 3x = 7 + 1 \]
\[ -x = 8 \]
\[ x = -8 \]

2. Khi \( 2 \leq x < 5 \): Ta có \( |x - 2| = x - 2 \) và \( |x - 5| = 5 - x \). Đặt vào phương trình, ta có:
\[ (x - 2) + (5 - x) = 3x + 1 \]
\[ 5 - 2 = 3x + 1 \]
\[ 3 = 3x + 1 \]
\[ 3x = 2 \]
\[ x = \frac{2}{3} \]

3. Khi \( x < 2 \): Ta có \( |x - 2| = 2 - x \) và \( |x - 5| = 5 - x \). Đặt vào phương trình, ta có:
\[ (2 - x) + (5 - x) = 3x + 1 \]
\[ 7 - 2x = 3x + 1 \]
\[ 7 = 5x + 1 \]
\[ 5x = 6 \]
\[ x = \frac{6}{5} \]

Tuy nhiên, ta cần kiểm tra lại các nghiệm tìm được xem có thỏa mãn điều kiện của miền xác định không. Trong trường hợp này, tất cả các nghiệm tìm được đều thỏa mãn điều kiện miền xác định, nên chúng đều là nghiệm của phương trình ban đầu.

Vậy, các giá trị của \(x\) thỏa mãn phương trình là \( x = -8 \), \( x = \frac{2}{3} \), và \( x = \frac{6}{5} \).