Để chứng minh căn 7 là số vô tỉ, ta giả sử rằng căn 7 là số hữu tỉ.

Giả sử căn 7 là một số hữu tỉ, tức là có thể biểu diễn dưới dạng phân số tối giản a/b, trong đó a và b là hai số nguyên không có ước chung lớn hơn 1.

Ta có: căn 7 = a/b

Bình phương cả hai vế ta được: 7 = (a^2)/(b^2)

Từ đó suy ra: 7b^2 = a^2

Điều này có nghĩa là a^2 chia hết cho 7, do đó a cũng chia hết cho 7.

Khi đó, ta có a = 7k, với k là một số nguyên.

Thay a = 7k vào phương trình ban đầu ta được: 7b^2 = (7k)^2

Từ đó suy ra: b^2 = 7k^2

Điều này có nghĩa là b^2 chia hết cho 7, do đó b cũng chia hết cho 7.

Như vậy, a và b đều chia hết cho 7, điều này mâu thuẫn với giả sử ban đầu rằng a và b không có ước chung lớn hơn 1.

Vậy, giả sử căn 7 là một số hữu tỉ là sai. Do đó, căn 7 là số vô tỉ.