a) Ta có:
- Đường thẳng vuông góc với AB tại B là đường thẳng qua trung điểm của AB và vuông góc với AB.
- Đường thẳng vuông góc với AC tại C là đường thẳng qua trung điểm của AC và vuông góc với AC.
Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC.
Do đó, BM và CK là hai đường thẳng có cùng độ dài và vuông góc với hai cạnh AB và AC tương ứng.
Vậy, BHCK là hình bình hành.

b) Ta có:
- Đường cao BE của tam giác ABC cắt đường thẳng vuông góc với AB tại K.
- Đường cao CF của tam giác ABC cắt đường thẳng vuông góc với AC tại K.
Vì K là điểm trên cả hai đường cao BE và CF, nên K là điểm trùng nhau của hai đường thẳng.
Do đó, H, M, K thẳng hàng.

c) Ta có:
- HG vuông góc với BC tại G.
- HG = GI.
Vậy, HG là đường cao của tam giác BGI.
Do đó, BIKG là hình thang cân (hai cạnh bên BG và IK bằng nhau).
Tương tự, CKIG cũng là hình thang cân.
Vậy, tứ giác BIKC là hình thang cân.