a) Ta có BM = MC (M là trung điểm của BC) và BH ⊥ AC, CK ⊥ AB (đường cao của tam giác ABC). Vậy ta có BH = CK.
Mà MH = MK, suy ra tam giác BMH = tam giác CMK (cạnh chung và góc giữa bằng nhau).
Do đó, BHCK là hình bình hành.

b) Ta có BHCK là hình bình hành, suy ra BH || CK.
Vì BH ⊥ AC và BH || CK, nên CK ⊥ AC.
Tương tự, ta có BK ⊥ AB.

c) Ta có BM = MC (M là trung điểm của BC) và BH ⊥ AC, CK ⊥ AB (đường cao của tam giác ABC). Vậy ta có BH = CK.
Mà MH = MK, suy ra tam giác BMH = tam giác CMK (cạnh chung và góc giữa bằng nhau).
Do đó, BM = MC và BH = CK.
Vậy tam giác MEF là tam giác cân (ME = MF).

d) Vì CQ ⊥ BK và BK ⊥ AB, nên CQ || AB.
Vậy tam giác CQE là tam giác vuông (CQ ⊥ EQ).
Tương tự, ta có EF ⊥ EQ.