Xét các số thực dương thỏa mãn

Để chứng minh a = b = c = d, ta sẽ sử dụng phương pháp giả sử ngược.

Giả sử a ≠ b, hoặc a ≠ c, hoặc a ≠ d. Mà không mất tính tổng quát, ta giả sử a ≠ b.

Vì a ≠ b, ta có (a - b) ≠ 0. Nhân cả hai vế của phương trình a³ + b³ + c³ + d³ = a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ với (a - b), ta được:

(a³ + b³ + c³ + d³)(a - b) = (a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴)(a - b)

a⁴ - b⁴ + a³b - ab³ + a³c - b³c + a³d - ab³d = a⁵ - b⁵ + a⁴b - b⁴a + a⁴c - b⁴c + a⁴d - b⁴d

(a⁴ - b⁴) + (a³b - ab³) + (a³c - b³c) + (a³d - ab³d) = (a⁵ - b⁵) + (a⁴b - b⁴a) + (a⁴c - b⁴c) + (a⁴d - b⁴d)

(a - b)(a³ + a²b + ab² + b³) + c(a³ - b³) + d(a³ - b³) = (a - b)(a⁴ + a³b + a²b² + ab³ + b⁴) + c(a³ - b³) + d(a³ - b³)

(a - b)(a³ + a²b + ab² + b³ - a⁴ - a³b - a²b² - ab³ - b⁴) + c(a³ - b³) + d(a³ - b³) = 0

(a - b)(a³ - a⁴ + a²b - a³b + ab² - a²b² + b³ - ab³ - b⁴) + c(a³ - b³) + d(a³ - b³) = 0

(a - b)(a³(1 - a) + ab(a - b) + b²(a - b)² + b³(1 - b)) + c(a³ - b³) + d(a³ - b³) = 0

(a - b)(a³(1 - a) + ab(a - b) + b²(a - b)² + b³(1 - b)) + (c + d)(a³ - b³) = 0

(a - b)(a³(1 - a) + ab(a - b) + b²(a - b)² + b³(1 - b) + (c + d)(a³ - b³)) = 0

Vì (a - b) ≠ 0, ta có:

a³(1 - a) + ab(a - b) + b²(a - b)² + b³(1 - b) + (c + d)(a³ - b³) = 0

Ta sẽ chứng minh rằng a³(1 - a) + ab(a - b) + b²(a - b)² + b³(1 - b) + (c + d)(a³ - b³) ≠ 0.

Vì a, b, c, d là các số thực dương, ta có:

1 - a < 0
1 - b < 0
a - b > 0
a - b > 0
a - b > 0

Do đó, a³(1 - a) + ab(a - b) + b²(a - b)² + b³(1 - b) + (c + d)(a³ - b³) > 0.

Vậy giả sử ngược đã sai, điều phải chứng minh. Do đó, ta kết luận a = b = c = d.