Xét các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn: a³ + b³ + c³ + d³ = a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ = a⁵ + b⁵ + c⁵ + d⁵. Chứng minh: a = b = c = d

Để chứng minh a = b = c = d, ta sẽ sử dụng phương pháp giả sử ngược.

Giả sử a ≠ b (1)

Từ a³ + b³ + c³ + d³ = a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴, ta có:
(a³ - a⁴) + (b³ - b⁴) + c³ + d³ = 0 (2)

Từ (1), ta có:
(a³ - a⁴) - (b³ - b⁴) = a³ - a⁴ - b³ + b⁴ > 0 (3)

Từ (2) và (3), ta có:
c³ + d³ < 0 (4)

Tuy nhiên, vì a, b, c, d là các số thực dương, nên c³ và d³ cũng là các số thực dương. Điều này mâu thuẫn với (4).

Vậy giả sử a ≠ b là sai. Tương tự, ta có thể chứng minh a ≠ c, a ≠ d, b ≠ c, b ≠ d, c ≠ d là sai.

Do đó, ta kết luận a = b = c = d.