Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC), đường cao AH, tia phân giác của góc ABH cắt AH tại D, tia phân giác của góc HAC cắt BC tại E

1) Tam giác ADE là tam giác cân. Vì AD là tia phân giác của góc ABH, nên góc BAD = góc DAH. Tương tự, góc CAH = góc HAE. Như vậy, ta có:
góc BAD + góc CAH = góc DAH + góc HAE
góc BAD + góc CAH = 180° (do tổng các góc trong tam giác bằng 180°)
góc BAD = góc CAH
Do đó, tam giác ADE là tam giác cân.

2) Ta có:
tan BAE - tan C = (tan BAE - tan CAH) + (tan CAH - tan C)
= (tan BAE - tan DAH) + (tan CAH - tan C) (vì góc DAH = góc CAH)
= (tan BAE - tan DAH) + (tan HAE - tan HAC) (vì góc HAE = góc HAC)
= (tan BAE - tan DAH) + tan HAE - tan HAC
= (tan BAE - tan DAH) + tan HAE - tan (90° - góc CAH) (vì góc HAC là góc vuông)
= (tan BAE - tan DAH) + tan HAE - cot CAH
= (tan BAE - tan DAH) + tan HAE - 1/tan CAH (vì cot CAH = 1/tan CAH)
= (tan BAE - tan DAH) + tan HAE - 1/tan (180° - góc BAD) (vì góc DAH = góc BAD)
= (tan BAE - tan DAH) + tan HAE - 1/tan (180° - góc BAE) (vì góc HAE = góc BAE)
= (tan BAE - tan DAH) + tan HAE - 1/tan BAE
= tan BAE - tan DAH + tan HAE - 1/tan BAE
= tan BAE + tan HAE - tan DAH - 1/tan BAE
= 1/cos BAE + 1/cos HAE - 1/cos DAH - 1/tan BAE (vì tan A = 1/cos A)
= 1/cos BAE + 1/cos HAE - 1/cos DAH - cos BAE/cos HAE (vì tan A = sin A/cos A)
= 1/cos BAE - cos BAE/cos HAE + 1/cos HAE - 1/cos DAH
= (1 - cos BAE)/cos BAE + (1 - cos HAE)/cos HAE - 1/cos DAH
= 1/cos BAE + 1/cos HAE - 1/cos DAH - 1 (vì cos BAE = cos HAE = 1 và 1 - cos BAE = 1 - cos HAE = 0)
= 1/cos C - 1 (vì góc DAH = góc C)
= 1/cos C - cos C/cos C (vì cos C = 1/cos C)
= 1/cos C - cos C/cos C
= (1 - cos C)/cos C
= 1/cos C (vì 1 - cos C = cos^2 C)
Vậy, ta đã chứng minh được tan BAE - tan C = 1/cos C.