Để chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành, ta cần chứng minh hai đường chéo MN và PQ cắt nhau tại một điểm và chúng bằng nhau.

Ta có:
MN là đường chéo của tứ giác ABCD, do đó MN cắt PQ tại một điểm O (gọi là giao điểm chéo).
Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD nên MN song song với AB và CD.
Tương tự, PQ song song với AD và BC.
Do đó, ta có MN // PQ.

Gọi E là giao điểm của AC và BD.
Ta có:
MN là đường chéo của tứ giác ABCD, do đó MN cắt AC tại một điểm I (gọi là giao điểm chéo).
Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD nên MN song song với AB và CD.
Tương tự, PQ song song với BD và AC.
Do đó, ta có MN // AC.

Tương tự, ta có PQ // BD.

Vậy, ta có MN // PQ và MN // AC, suy ra MN // AC // PQ.
Tương tự, ta có MN // BD // PQ.

Do đó, tứ giác MNPQ là hình bình hành.