Cho tam giác ABC nhọn có các điểm B,F,E,C cùng thuộc một đường tròn, xác định tâm O của đường tròn đó

Để xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có thể sử dụng một trong hai phương pháp sau:

Phương pháp 1: Sử dụng trung tuyến và đường cao của tam giác ABC.
- Gọi M là trung điểm của BC, H là giao điểm của đường cao từ A xuống BC.
- Khi đó, ta có AM là trung tuyến của tam giác ABC và AH là đường cao của tam giác ABC.
- Vì M là trung điểm của BC nên AM = MC.
- Vì đường cao AH vuông góc với BC nên AM ⊥ BC.
- Do đó, tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chính là giao điểm của đường thẳng AM và đường thẳng vuông góc với BC đi qua M.

Phương pháp 2: Sử dụng trung điểm và đường trung trực của một cạnh của tam giác ABC.
- Gọi D là trung điểm của BC.
- Vẽ đường trung trực của BC, cắt đường tròn tại điểm O.
- Khi đó, tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chính là giao điểm của đường thẳng OD và đường tròn.

b) Để chứng minh EF < BC, ta có thể sử dụng các tính chất của tam giác và đường tròn ngoại tiếp tam giác.
- Vì B, F, E, C cùng thuộc một đường tròn nên ta có:
+ Góc BFC = Góc BEC (cùng nằm trên cùng một cung BC)
+ Góc BCF = Góc BEF (cùng nằm trên cùng một cung EF)
- Ta cũng có:
+ Góc BCF + Góc BFC = 180° (tổng các góc trong tam giác BCF bằng 180°)
+ Góc BEF + Góc BEC = 180° (tổng các góc trong tam giác BEF bằng 180°)
- Từ đó suy ra: Góc BCF = Góc BEF và Góc BFC = Góc BEC.
- Do đó, tam giác BCF và tam giác BEF là hai tam giác đồng dạng (có hai góc bằng nhau).
- Vì tam giác BCF và tam giác BEF đồng dạng nên ta có EF/BC = BE/BF.
- Vì BE/BF < 1 (vì BF < BE) nên ta có EF/BC < 1.
- Do đó, EF < BC.

c) Để chứng minh O' là trung điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEH, ta cần chứng minh O' nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác AEH và O'E = O'H.
- Gọi I là trung điểm của AE.
- Vì O' là trung điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEH nên O'I là đường trung trực của AH.
- Ta có:
+ Góc AHI = Góc AEI (cùng nằm trên cùng một cung AE)
+ Góc AIH = Góc AEH (cùng nằm trên cùng một cung AH)
- Từ đó suy ra: Tam giác AHI và tam giác AEI là hai tam giác đồng dạng (có hai góc bằng nhau).
- Vì tam giác AHI và tam giác AEI đồng dạng nên ta có O'I/O'H = AI/AH = 1/2 (vì I là trung điểm của AE).
- Vì O'I/O'H = 1/2 nên ta có O'E/O'H = 1/2 (vì O' nằm trên đường trung trực của AH).
- Do đó, O' là trung điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEH.