a. Để thu gọn tổng A, ta sử dụng công thức tổng của cấp số nhân:
Tổng của cấp số nhân có công thức: S = a * (r^n - 1) / (r - 1)
Trong đó:
- a là số hạng đầu tiên của cấp số nhân (2)
- r là công bội của cấp số nhân (2)
- n là số lượng số hạng trong cấp số nhân (60)

Áp dụng công thức trên, ta có:
A = 2 * (2^60 - 1) / (2 - 1)
= 2 * (2^60 - 1)
= 2^61 - 2

Vậy tổng A được thu gọn thành A = 2^61 - 2.

b. Để chứng minh rằng A chia hết cho 3, 5 và 7, ta sẽ kiểm tra từng số hạng trong tổng A.

Chia hết cho 3:
Ta biết rằng mọi số hạng trong dạng 2^n đều chia hết cho 2. Vì vậy, ta chỉ cần kiểm tra xem tổng các số hạng từ 2^0 đến 2^60 có chia hết cho 3 hay không.

Ta biết rằng 2^0 = 1, 2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8, 2^4 = 16, 2^5 = 32, 2^6 = 64, 2^7 = 128, 2^8 = 256, 2^9 = 512, 2^10 = 1024, 2^11 = 2048, 2^12 = 4096, 2^13 = 8192, 2^14 = 16384, 2^15 = 32768, 2^16 = 65536, 2^17 = 131072, 2^18 = 262144, 2^19 = 524288, 2^20 = 1048576, 2^21 = 2097152, 2^22 = 4194304, 2^23 = 8388608, 2^24 = 16777216, 2^25 = 33554432, 2^26 = 67108864, 2^27 = 134217728, 2^28 = 268435456, 2^29 = 536870912, 2^30 = 1073741824, 2^31 = 2147483648, 2^32 = 4294967296, 2^33 = 8589934592, 2^34 = 17179869184, 2^35 = 34359738368, 2^36 = 68719476736, 2^37 = 137438953472, 2^38 = 274877906944, 2^39 = 549755813888, 2^40 = 1099511627776, 2^41 = 2199023255552, 2^42 = 4398046511104, 2^43 = 8796093022208, 2^44 = 17592186044416, 2^45 = 35184372088832, 2^46 = 70368744177664, 2^47 = 140737488355328, 2^48 = 281474976710656, 2^49 = 562949953421312, 2^50 = 1125899906842624, 2^51 = 2251799813685248, 2^52 = 4503599627370496, 2^53 = 9007199254740992, 2^54 = 18014398509481984, 2^55 = 36028797018963968, 2^56 = 72057594037927936, 2^57 = 144115188075855872, 2^58 = 288230376151711744, 2^59 = 576460752303423488, 2^60 = 1152921504606846976.

Ta thấy rằng tổng các số hạng từ 2^0 đến 2^59 là 2^60 - 1. Vậy tổng này chia hết cho 3.

Chia hết cho 5:
Ta biết rằng mọi số hạng trong dạng 2^n đều chia hết cho 2. Vì vậy, ta chỉ cần kiểm tra xem tổng các số hạng từ 2^0 đến 2^60 có chia hết cho 5 hay không.

Ta thấy rằng tổng các số hạng từ 2^0 đến 2^59 là 2^60 - 1. Vậy tổng này không chia hết cho 5.

Chia hết cho 7:
Ta biết rằng mọi số hạng trong dạng 2^n đều chia hết cho 2. Vì vậy, ta chỉ cần kiểm tra xem tổng các số hạng từ 2^0 đến 2^60 có chia hết cho 7 hay không.

Ta thấy rằng tổng các số hạng từ 2^0 đến 2^59 là 2^60 - 1. Vậy tổng này không chia hết cho 7.

Vậy A chỉ chia hết cho 3, không chia hết cho 5 và 7.