Ta có tam giác ABC cân tại A, nên ta có:
AB = AC
Do đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC tại H và K nên ta có:
OH ⊥ AB và OK ⊥ AC
Vậy OH và OK là hai đường cao của tam giác ABC cân tại A.
Do đó, ta có OH = OK
Vì O là trung điểm của BC nên ta có:
BH = HC = x
Vậy OH = OK = x
Gọi E là giao điểm của DM và ON.
Ta có:
∠OED = ∠OEM (cùng chắn cung EM trên đường tròn (O))
∠OED = ∠OEN (cùng chắn cung EN trên đường tròn (O))
Vậy ∠OEM = ∠OEN
Do đó, ta có tam giác OEM đồng dạng với tam giác OEN (theo góc).
Vì BM là tiếp tuyến của đường tròn tâm O nên ta có:
∠BMO = ∠OEM (cùng nội tiếp)
Tương tự, vì CN là tiếp tuyến của đường tròn tâm O nên ta có:
∠CNO = ∠OEN (cùng nội tiếp)
Vậy ∠BMO = ∠CNO
Do đó, ta có tam giác BMO đồng dạng với tam giác CNO (theo góc).
Vậy ta có tỉ số đồng dạng giữa hai tam giác BMO và CNO:
BM/CN = MO/NO
Ta có:
MO = EO - EM
NO = EO + EN
Vì ∠OEM = ∠OEN nên ta có:
∠EOM = ∠EON
Do đó, ta có tam giác OEM đồng dạng với tam giác EON (theo góc).
Vậy ta có tỉ số đồng dạng giữa hai tam giác OEM và EON:
EM/EN = OM/ON
Vậy ta có:
BM/CN = (EO - EM)/(EO + EN)
= (x - EM)/(x + EN)
= (x - EM)/(x + (x + EM))
= (x - EM)/(2x + EM)
= (x - EM)/(2x + (x - EM))
= (x - EM)/(3x - EM)
= (x - EM)/(3x - (x + EM))
= (x - EM)/(2x - EM)
= (x - EM)/(2x - (x - EM))
= (x - EM)/(x + EM)
= (x - EM)/(x + (x - EM))
= (x - EM)/(2x - EM)
= (x - EM)/(2x - (x + EM))
= (x - EM)/(x - EM)
= 1
Vậy BM/CN = 1
Do đó, ta có BM * CN = BM * BM = BM^2
Vậy BM * CN = BM^2 = 1^2 = 1