Tìm số nguyên n, sao cho 2n + 1 chia hết cho n − 5

Để tìm số nguyên n thỏa mãn điều kiện đã cho, ta sẽ sử dụng phép chia Euclid.

Giả sử 2n + 1 chia hết cho n - 5, ta có:

2n + 1 = k(n - 5), với k là một số nguyên.

Mở ngoặc, ta có:

2n + 1 = kn - 5k

Đưa các thành phần chứa n về cùng một bên và các thành phần không chứa n về cùng một bên, ta có:

2n - kn = -5k - 1

Factor out n:

n(2 - k) = -5k - 1

Để n là số nguyên, ta cần phải có (2 - k) chia hết cho -5k - 1.

Ta thử từng giá trị của k để tìm số nguyên n thỏa mãn điều kiện đã cho.

Khi k = 1, ta có:

(2 - 1) chia hết cho -5(1) - 1

1 chia hết cho -5 - 1

1 chia hết cho -6

Vì -6 không chia hết cho 1, nên k = 1 không thỏa mãn.

Khi k = 2, ta có:

(2 - 2) chia hết cho -5(2) - 1

0 chia hết cho -10 - 1

0 chia hết cho -11

Vì -11 chia hết cho 0, nên k = 2 thỏa mãn.

Khi k = 3, ta có:

(2 - 3) chia hết cho -5(3) - 1

-1 chia hết cho -15 - 1

-1 chia hết cho -16

Vì -16 chia hết cho -1, nên k = 3 thỏa mãn.

Khi k = 4, ta có:

(2 - 4) chia hết cho -5(4) - 1

-2 chia hết cho -20 - 1

-2 chia hết cho -21

Vì -21 chia hết cho -2, nên k = 4 thỏa mãn.

...

Ta thấy rằng khi k = 2, 3, 4, ... thì điều kiện đã cho được thỏa mãn.

Vậy, số nguyên n thỏa mãn là các số nguyên dương lớn hơn 5.