Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số A(x) = 2x^2 - 8x - 2023, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương hoặc sử dụng công thức tính đạo hàm.

1. Sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương:
Đầu tiên, ta thêm và trừ 2023 vào hàm số để tạo thành một khối hoàn thiện:
A(x) = 2x^2 - 8x - 2023 + 2023
= 2x^2 - 8x - 2023 + 4(4x - 506)
= 2(x^2 - 4x + 4) - 2023 + 4(4x - 506)
= 2(x - 2)^2 - 2023 + 4(4x - 506)
= 2(x - 2)^2 + 4(4x - 506) - 2023
= 2(x - 2)^2 + 16x - 2024 - 2023
= 2(x - 2)^2 + 16x - 4047

Ta thấy rằng hàm số A(x) có dạng: A(x) = a(x - h)^2 + k, với a = 2, h = 2, k = -4047.
Vì a > 0, nên đỉnh của đồ thị hàm số A(x) là giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Đỉnh của đồ thị hàm số A(x) có tọa độ (h, k) = (2, -4047).
Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số A(x) là -4047.

2. Sử dụng công thức tính đạo hàm:
Đạo hàm của hàm số A(x) là: A'(x) = 4x - 8.
Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số A(x), ta giải phương trình A'(x) = 0:
4x - 8 = 0
4x = 8
x = 2.

Ta thấy rằng x = 2 là điểm cực tiểu của hàm số A(x).
Để xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số A(x), ta thay x = 2 vào hàm số:
A(2) = 2(2)^2 - 8(2) - 2023
= 8 - 16 - 2023
= -2031.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số A(x) là -2031.