Bài 1:
a) Để p+15 là số nguyên tố, ta cần kiểm tra các số nguyên tố từ 2 đến p+15-1 = p+14. Nếu không có số nào chia hết cho p+15 thì p+15 là số nguyên tố. Vậy ta cần tìm số nguyên tố p sao cho không có số nguyên tố nào từ 2 đến p+14 chia hết cho p+15.
b) Tương tự như trên, để 2p+5 và 4p+11 là số nguyên tố, ta cần tìm số nguyên tố p sao cho không có số nguyên tố nào từ 2 đến 2p+4 chia hết cho 2p+5 và không có số nguyên tố nào từ 2 đến 4p+10 chia hết cho 4p+11.

Bài 2:
Để 5p-2 là số nguyên tố, ta cần kiểm tra các số nguyên tố từ 2 đến 5p-2-1 = 5p-3. Nếu không có số nào chia hết cho 5p-2 thì 5p-2 là số nguyên tố. Ngược lại, nếu có số chia hết cho 5p-2 thì 5p-2 là hợp số.

Bài 3:
Để 2n-1 và 2n+1 là số nguyên tố, ta cần kiểm tra các số nguyên tố từ 2 đến 2n-2 và từ 2 đến 2n. Nếu không có số nào chia hết cho 2n-1 và 2n+1 thì n là số tự nhiên cần tìm.

Bài 4:
Chứng minh bằng phản chứng: Giả sử không tồn tại 100 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số. Khi đó, trong 100 số tự nhiên liên tiếp đó, phải tồn tại ít nhất một số nguyên tố. Nhưng số nguyên tố chỉ có thể là số đầu tiên hoặc số cuối cùng trong dãy 100 số tự nhiên liên tiếp đó. Vậy không thể không tồn tại số nguyên tố trong 100 số tự nhiên liên tiếp đó. Điều này mâu thuẫn với giả sử ban đầu. Vậy giả sử sai và tồn tại 100 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số.

Bài 5:
Để dãy có nhiều số nguyên tố nhất, ta cần tìm số tự nhiên a sao cho các số a, a+1, a+2, ..., a+9 đều là số nguyên tố. Ta kiểm tra từng số a cho đến khi tìm được số a thỏa mãn điều kiện đó.

Bài 6:
Tìm số nguyên tố p, q sao cho pq+17 và p+7q đều là số nguyên tố. Ta kiểm tra từng cặp số nguyên tố p, q cho đến khi tìm được cặp số p, q thỏa mãn điều kiện đó.