Để chứng minh rằng 9^2018-1 chia hết cho 80, ta cần chứng minh rằng 9^2018-1 chia hết cho cả 2 và 5.

Ta biết rằng 9^2018-1 = (3^2)^2018 - 1 = 3^4036 - 1.

Để chứng minh rằng 3^4036-1 chia hết cho 2, ta thấy rằng 3^4036 là số lẻ (vì 3 là số lẻ), do đó 3^4036-1 là số chẵn. Vì vậy, 3^4036-1 chia hết cho 2.

Để chứng minh rằng 3^4036-1 chia hết cho 5, ta sử dụng định lý Euler: nếu a và m là 2 số nguyên tố cùng nhau, thì a^φ(m) ≡ 1 (mod m), trong đó φ(m) là hàm số Euler (số các số nguyên tố cùng nhau với m trong đoạn từ 1 đến m-1).

Ta biết rằng 5 là số nguyên tố cùng nhau với 3, nên áp dụng định lý Euler, ta có 3^φ(5) ≡ 1 (mod 5). Vì φ(5) = 4, nên 3^4 ≡ 1 (mod 5). Từ đó, ta suy ra 3^4036 ≡ 1 (mod 5).

Vậy, 3^4036-1 chia hết cho cả 2 và 5, tức là chia hết cho 2x5=10.

Vì vậy, 9^2018-1 chia hết cho 80.