a)

Xét tam giác ABD và tam giác ABE có:

• AB = BE (điều kiện)
• AD = BE (tia phân giác BD)

Nên tam giác ABD đồng dạng với tam giác ABE theo định lý đồng dạng cạnh-cạnh-cạnh (ASA).

Ta có:

Mà A4ABE = AEBD (AEBD là tam giác vuông tại E).

Vậy A4BD = AEBD.

Để chứng minh DE vuông góc với BC, ta cần chứng minh góc DEB là góc vuông.

Xét tam giác ABE có:

• AB = BE (điều kiện)
• AE = AB + BE = 2BE

Nên tam giác ABE là tam giác cân tại E.

Ta có:

Mà góc AEB + góc EAB = 180o (góc trong tam giác)

Nên góc AEB = 90o.

Vậy góc DEB = góc AEB = 90o.

Điều này chứng tỏ DE vuông góc với BC.

b)

Xét tam giác CDE có:

• CD = BC (tam giác vuông tại C)
• CE = BD (tia phân giác BD)

Nên tam giác CDE đồng dạng với tam giác CBD theo định lý đồng dạng cạnh-cạnh-cạnh (ASA).

Ta có:

Nhưng A4CBD = A4BD (BD là tia phân giác góc ABC)

Vậy A4CDE = A4BD = AEBD.

Mà AEBD là tam giác vuông tại E, nên A4EBD = 90o.

Vậy A4CDE = 90o.

Để chứng minh CK // EH, ta cần chứng minh góc KCE = góc HEC = 90o.

Xét tam giác CDE có:

• CD = BC (tam giác vuông tại C)
• CE = BD (tia phân giác BD)

Nên tam giác CDE đồng dạng với tam giác CBD theo định lý đồng dạng cạnh-cạnh-cạnh (ASA).

Ta có:

Nhưng A4CBD = A4BD (BD là tia phân giác góc ABC)

Vậy A4CDE = A4BD = AEBD.

Mà AEBD là tam giác vuông tại E, nên A4EBD = 90o.

Vậy A4CDE = 90o.

Ta có:

Vì A4HEC là góc trong tam giác HEC, nên 0o ≤ A4HEC ≤ 90o.

Nên 90o - A4HEC ≥ 0o.

Vậy A4KCE ≥ 0o.

Điều này chứng tỏ góc KCE là góc nhọn.

Tương tự, ta cũng có:

Và A4KCE ≥ 0o.

Vậy góc HEC là góc nhọn.

Điều này chứng tỏ CK // EH.