Để chứng minh các phần a), b), c), ta sẽ sử dụng các tính chất của hình thoi ABCD và các đường chéo của nó.

a) Ta cần chứng minh BMDP là hình bình hành.
Vì AM = CN = CP = QA, ta có AM = QA và CN = CP.
Vì AB = CD (vì ABCD là hình thoi), ta có AM + MB = QA + AB và CN + ND = CP + CD.
Do đó, MB = ND.
Vì AB = CD và MB = ND, ta có AB || CD và MB || ND.
Vậy BMDP là hình bình hành.

b) Ta cần chứng minh ba điểm N, O, Q thẳng hàng.
Vì ABCD là hình thoi, ta có AC là đường chéo của hình thoi.
Vì AM = CN và AC là đường chéo, ta có AM || CN.
Vì AB = CD và AM || CN, ta có AB || CD.
Vậy ABDC là hình bình hành.
Vì ABDC là hình bình hành, ta có AB || DC và AD || BC.
Vì AB || DC và AD || BC, ta có AB || DC || AD || BC.
Vì AB || DC || AD || BC, ta có ABDC là hình chữ nhật.
Vì ABDC là hình chữ nhật, ta có AC là đường chéo của hình chữ nhật.
Vì AC là đường chéo của hình chữ nhật, ta có AC đi qua O.
Vậy ba điểm N, O, Q thẳng hàng.

c) Ta cần chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Vì AM = CN và AC là đường chéo, ta có AM || CN.
Vì AM || CN và AB = CD, ta có tứ giác AMNC là hình bình hành.
Vì AMNC là hình bình hành, ta có MN || AC và MN = AC.
Vì MN || AC và MN = AC, ta có tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Vậy đã chứng minh được a), b), c).