Cho tam giác ABC nhọn có hai đường cao AH và BK

Để tính số đo góc AIB, ta cần biết số đo góc CAB và góc CBK.

Vì tam giác ABC là tam giác nhọn, nên góc CAB và góc CBK đều nhọn.

Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Khi đó, AM là đường trung bình của tam giác ABC, nên AM vuông góc với BC. Tương tự, BM vuông góc với AC.

Vì ah là đường cao của tam giác ABC, nên ah vuông góc với BC. Do đó, ah song song với AM.

Tương tự, bk là đường cao của tam giác ABC, nên bk vuông góc với AC. Do đó, bk song song với BM.

Vậy, ta có hai đường thẳng ah và bk là hai đường song song.

Gọi I' là giao điểm của ah và bk. Ta có:

- ah song song với AM
- bk song song với BM
- ah và bk cắt nhau tại I

Do đó, ta có tứ giác AMBI' là tứ giác tứ giác nội tiếp.

Vì I' là giao điểm của phân giác của góc CAB và góc CBK, nên ta có:

∠I'AB = ∠I'AC = ∠CAB/2
∠I'BC = ∠I'BA = ∠CBK/2

Vậy, tứ giác AMBI' là tứ giác nội tiếp, nên ta có:

∠AIB = ∠AMB = ∠I'AB + ∠I'BA = ∠CAB/2 + ∠CBK/2

Vậy, số đo góc AIB là (số đo góc CAB + số đo góc CBK)/2.