Cho tam giác ABC nhọm có đường trung tuyến AM (M thuộc BC)

a) Ta có AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên BM = MC = 4cm.
Áp dụng định lý phân giác trong tam giác, ta có:
$\frac{AE}{EB} = \frac{AM}{MB} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$\Rightarrow \frac{5}{EB} = \frac{3}{2}$
$\Rightarrow EB = \frac{10}{3} cm$
Vậy $AB = AE + EB = 5 + \frac{10}{3} = \frac{25}{3} cm$

b) Ta có $\angle AMB = \angle AMC$ (do AM là đường trung tuyến)
Và $\angle EMB = \angle FMC$ (do ME, MF là tia phân giác)
Vậy theo góc đồng quy, ta có EF//BC.

c) Ta có $\angle EMI = \angle EMB + \angle BMI = \angle EMB + \angle AMB = \angle AME$
Và $\angle FIK = \angle FMC + \angle CMB = \angle FMC + \angle AMC = \angle AMF$
Vậy theo góc đồng quy, ta có EI vuông góc BC và FK vuông góc BC.
Do đó, ta có $\triangle EIK$ và $\triangle FIK$ là hai tam giác vuông cân.
Vì $AM = AM$, $MB = MC$, nên ta có $EI = FK$.
Vậy $EK = IF$.