a) Ta có tam giác ADE cân tại điểm E (do AD là phân giác góc A). Khi đó, ta có AE = DE.
Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC. Vì đường thẳng EF song song với đường thẳng AD nên ta có:
∠EAF = ∠DAF = ∠DAB = ∠EAB (cùng chắn cung AB trên đường tròn (ABCD))
Do đó, tam giác AEF cân tại điểm E. Vậy ta đã chứng minh được tam giác AEK cân.

b) Ta có:
∠EAF = ∠DAF = ∠DAB (cùng chắn cung AB trên đường tròn (ABCD))
∠EAK = ∠DAK = ∠DAB (cùng chắn cung AB trên đường tròn (ABCD))
Do đó, tam giác AEF và tam giác AKD đồng dạng (có hai góc bằng nhau).
Vậy ta có: AK/AD = AE/AF
Vì AE = DE và AF = DF (tam giác ADE cân và tam giác ADF cân)
Nên ta có: AK/AD = DE/DF
Vì BM = MC (M là trung điểm của BC) nên ta có: DM = MB
Vậy ta có: AK/AD = DE/DM
Do đó, ta đã chứng minh được AK/EC = DM/MB.

c) Ta có:
∠EAF = ∠DAF = ∠DAB (cùng chắn cung AB trên đường tròn (ABCD))
∠EAK = ∠DAK = ∠DAB (cùng chắn cung AB trên đường tròn (ABCD))
Do đó, tam giác AEF và tam giác AKD đồng dạng (có hai góc bằng nhau).
Vậy ta có: AK/AD = AE/AF
Vì AE = DE và AF = DF (tam giác ADE cân và tam giác ADF cân)
Nên ta có: AK/AD = DE/DF
Vì BM = MC (M là trung điểm của BC) nên ta có: DM = MB
Vậy ta có: AK/AD = DE/DM
Do đó, ta có: AK/EC = DE/DM
Vì DE = AE và DM = MB nên ta có: AK/EC = AE/MB
Vì AE = DE nên ta có: AK/EC = DE/MB
Vậy ta đã chứng minh được BK = EC.