Để chứng minh A không là bình phương của bất kỳ số tự nhiên nào, ta sẽ sử dụng phương pháp giả sử ngược.

Giả sử A là bình phương của một số tự nhiên k, tức là A = k^2.

Ta có: A = (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5) + 2

Đặt B = (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5), ta có A = B + 2.

Khi đó, k^2 = B + 2.

Ta thấy rằng B là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp, nên B chia hết cho 5! = 120.

Vì vậy, k^2 ≡ 2 (mod 120).

Ta xét các trường hợp có thể xảy ra khi k^2 ≡ 2 (mod 120):

- Khi k ≡ 0 (mod 5): Ta có k^2 ≡ 0 (mod 5), nhưng 2 ≡ 2 (mod 5), nên không có số tự nhiên nào thỏa mãn.

- Khi k ≡ 1 (mod 5): Ta có k^2 ≡ 1 (mod 5), nhưng 2 ≡ 2 (mod 5), nên không có số tự nhiên nào thỏa mãn.

- Khi k ≡ 2 (mod 5): Ta có k^2 ≡ 4 (mod 5), nhưng 2 ≡ 2 (mod 5), nên không có số tự nhiên nào thỏa mãn.

- Khi k ≡ 3 (mod 5): Ta có k^2 ≡ 4 (mod 5), nhưng 2 ≡ 2 (mod 5), nên không có số tự nhiên nào thỏa mãn.

- Khi k ≡ 4 (mod 5): Ta có k^2 ≡ 1 (mod 5), nhưng 2 ≡ 2 (mod 5), nên không có số tự nhiên nào thỏa mãn.

Từ các trường hợp trên, ta thấy không có số tự nhiên nào thỏa mãn phương trình k^2 ≡ 2 (mod 120).

Vậy giả sử ngược đã sai, do đó A không là bình phương của bất kỳ số tự nhiên nào.