Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = căn(x - 3) / căn(x + 3), ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm.

Đặt y = căn(x - 3) / căn(x + 3), ta có:

y = (x - 3)^(1/2) / (x + 3)^(1/2)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của y, ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của y^2 để tránh xử lý với căn bậc hai.

y^2 = [(x - 3)^(1/2) / (x + 3)^(1/2)]^2
= (x - 3) / (x + 3)

Đạo hàm của y^2 theo x:

(dy^2/dx) = [(x + 3)(1) - (x - 3)(1)] / (x + 3)^2
= 6 / (x + 3)^2

Để tìm giá trị nhỏ nhất của y^2, ta giải phương trình dy^2/dx = 0:

6 / (x + 3)^2 = 0
=> x + 3 = 0
=> x = -3

Để xác định xem x = -3 có phải là điểm cực tiểu hay không, ta kiểm tra đạo hàm hai lần:

(d^2y^2/dx^2) = -12 / (x + 3)^3

Đặt x = -3 vào đạo hàm hai lần:

(d^2y^2/dx^2) = -12 / (-3 + 3)^3
= -12 / 0

Vì đạo hàm hai lần không xác định tại x = -3, nên x = -3 không phải là điểm cực tiểu.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của M là khi x = -3.