Để tính toán giá trị của \( A \) khi \( x = 4 \), ta thay giá trị \( x \) vào biểu thức:

\[
A = 2\sqrt{x} + 1
\]

Khi \( x = 4 \):

\[
A = 2\sqrt{4} + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5
\]

Vậy, giá trị của \( A \) khi \( x = 4 \) là \( 5 \).

Tiếp theo, rút gọn biểu thức \( B \):

\[
B = \left( \frac{1}{\sqrt{x}+1} - \frac{1}{x+\sqrt{x}} \right) \div \frac{\sqrt{x}-1}{x+2\sqrt{x}+1}
\]

**Bước 1**: Rút gọn phần tử trong ngoặc:

\[
\frac{1}{\sqrt{x}+1} - \frac{1}{x+\sqrt{x}} = \frac{(x+\sqrt{x}) - (\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)(x+\sqrt{x})} = \frac{x-1}{(\sqrt{x}+1)(x+\sqrt{x})}
\]

**Bước 2**: Rút gọn biểu thức:

\[
B = \frac{x-1}{(\sqrt{x}+1)(x+\sqrt{x})} \cdot \frac{x + 2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}
\]

Nhìn vào phân thức, ta được:

\[
B = \frac{(x-1)(x + 2\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x}+1)(x+\sqrt{x})(\sqrt{x}-1)}
\]

Ở đây, \( x - 1 \) và \( \sqrt{x} - 1 \) có thể bị rút gọn (điều này cần kiểm tra điều kiện \( \sqrt{x} \neq 1 \)). Kết quả sẽ phụ thuộc vào giá trị \( x \) cụ thể mà bạn muốn kiểm tra.

**Bước 3**: Tìm \( x \) sao cho \( A + B = 5 \):

Ta đã biết \( A = 2\sqrt{x} + 1 \), vậy:

\[
A + B = 5 \implies 2\sqrt{x} + 1 + B = 5
\]

Vậy:

\[
B = 4 - 2\sqrt{x}
\]

Phương trình sẽ tùy thuộc vào rút gọn \( B \) từ bước trên để có giá trị cụ thể.

Vì vậy, chúng ta cần tính thêm để xác định các nghiệm cho \( x \). Tùy thuộc vào giá trị sau khi rút gọn \( B \), mà có thể giải phương trình này.