a) Ta có:
- Độ dài đoạn thẳng BC là cạnh huyền của tam giác vuông ABC, với AB = 4,5 cm và AC = 6 cm, ta dùng định lý Pythagoras:
BC² = AB² + AC²
BC² = (4,5 cm)² + (6 cm)²
BC² = 20,25 cm² + 36 cm²
BC² = 56,25 cm² + 129,6 cm²
BC² = 185,85 cm²
BC ≈ √185,85 ≈ 13,63 cm

- Độ dài đoạn thẳng AH là đường cao của tam giác ABC, ta có diện tích tam giác ABC:
S = 1/2 * AB * AC
S = 1/2 * 4,5 cm * 6 cm
S = 13,5 cm²

Với đường cao AH, ta có:
AH = 2 * S / BC
AH = 2 * 13,5 cm² / 13,63 cm
AH ≈ 1,97 cm

b) Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác EHC. Ta có:
- Đường cao HD của tam giác ABC cắt đường cao HE tại O (vì tam giác ABC vuông tại A).
- Đường cao HD của tam giác ABC cắt đường cao HE tại O (vì tam giác ABC vuông tại A).
- Đường cao HD của tam giác ABC cắt đường cao HE tại O (vì tam giác ABC vuông tại A).

Do đó, ta có DE tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác EHC.

c) Gọi I là giao điểm của AH và DE, M là trung điểm của HC. Ta có:
- Đường cao HC của tam giác ABC cắt đường cao AH tại M (vì tam giác ABC vuông tại A).
- Đường cao HC của tam giác ABC cắt đường cao AH tại M (vì tam giác ABC vuông tại A).

Do đó, ta có MI là đường trung bình của tam giác ABC và cũng là đường trung bình của tam giác EHC. Để tính độ dài MI, cần biết độ dài HC. Tuy nhiên, trong đề bài không cho biết độ dài HC nên không thể tính được độ dài MI.