Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và đường tròn.

1) Ta có AD là đường cao của tam giác ABC, vì vậy tam giác ABC vuông tại A.
Gọi I là trung điểm của BC, ta có IO là đường phân giác của góc BOC.
Vì AD vuông góc với BC tại H, nên AH là đường cao của tam giác ABC.
Do đó, AH cũng là đường phân giác của góc BAC.
Vậy, ta có góc BAH = góc CAH.
Tương tự, ta có góc CAH = góc BAH.
Vậy, tam giác ABC là tam giác cân tại A.
Do đó, ta có HA = HD.

2) Ta có M là trung điểm của OC, nên OM song song với AC.
Vì MN vuông góc với OC và ON là đường thẳng đi qua M, nên MN cũng vuông góc với AC.
Vậy, ta có MN // SC.
Ta cũng có N là trung điểm của OS, nên SN = NO.
Vậy, ta có N là trung điểm của cạnh OS.

Để chứng minh SC là tiếp tuyến của đường tròn (O), ta cần chứng minh góc SBC = góc BOC.
Ta có góc SBC = góc MBC (vì MN // SC) = góc MOC (vì BM = MC) = góc BOC.
Vậy, ta có góc SBC = góc BOC.
Do đó, SC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

3) Gọi K là trung điểm của HC.
Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên góc BAH = góc CAH.
Vậy, góc BAH = góc CAH = góc BAC.
Vì F nằm trên đường tròn đường kính AH, nên góc BAF = góc BHF.
Tương tự, ta có góc BAF = góc BHF = góc BHC.
Vậy, ta có góc BAF = góc BHC = góc BAC.
Do đó, tam giác BAF và tam giác BHC đồng dạng.
Vì vậy, ta có BH/HC = AF/AK.