Cho tam giác ABC vuông tại A, AB nhỏ hơn AC có ah là đường cao vẽ HM vuông góc với AB tại M HN vuông góc với AC

Để chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật, ta cần chứng minh các cặp cạnh đối nhau của tứ giác này là vuông góc và bằng nhau.

1. Chứng minh cạnh AM vuông góc với cạnh AN:
Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên đường cao AH là đường vuông góc với cạnh BC. Khi đó, ta có:
∠HAB = 90° (1)
Vì HM vuông góc với AB, nên ∠HMA = 90° (2)
Từ (1) và (2), ta có ∠HAB = ∠HMA = 90°.
Do đó, cạnh AM vuông góc với cạnh AN.

2. Chứng minh cạnh AM bằng cạnh AN:
Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên đường cao AH chia tam giác thành hai tam giác vuông cân. Khi đó, ta có:
AB = AC (3)
Vì AH là đường cao, nên AH cắt BC tại trung điểm H của BC. Khi đó, ta có:
BH = HC (4)
Từ (3) và (4), ta có AB = AC = BH + HC = BH + HA + AC = AH + AC = AN.
Do đó, cạnh AM bằng cạnh AN.

Vậy, tứ giác AMHN là hình chữ nhật.

Để chứng minh tứ giác MHDN là hình bình hành, ta cần chứng minh các cặp cạnh đối nhau của tứ giác này là bằng nhau.

3. Chứng minh cạnh MH bằng cạnh DN:
Vì tứ giác AMHN là hình chữ nhật, nên cạnh MH bằng cạnh AN. Khi đó, ta có:
MH = AN (5)
Vì tứ giác MHDN là hình bình hành, nên cạnh DN bằng cạnh MH. Khi đó, ta có:
DN = MH (6)
Từ (5) và (6), ta có MH = DN.

Vậy, tứ giác MHDN là hình bình hành.

Để chứng minh AE vuông góc với HD, ta cần chứng minh hai đường thẳng này là song song.

4. Chứng minh AE song song với HD:
Vì AE là đường vuông góc với HD tại A, nên ta cần chứng minh AE cũng vuông góc với HD tại D.
Vì A là điểm đối xứng của D qua N, nên ta có:
AD = DN (7)
Vì tứ giác MHDN là hình bình hành, nên ta có:
MH = DN (8)
Từ (7) và (8), ta có AD = MH.
Vì AE vuông góc với HD tại A và AD = MH, nên AE cũng vuông góc với HD tại D.

Vậy, AE song song với HD.

Để chứng minh ME vuông góc với NE, ta cần chứng minh hai đường thẳng này là vuông góc.

5. Chứng minh ME vuông góc với NE:
Vì tứ giác AMHN là hình chữ nhật, nên cạnh AM vuông góc với cạnh AN. Khi đó, ta có:
∠MAN = 90° (9)
Vì AE song song với HD, nên ta có:
∠DAE = ∠DHE (10)
Vì AE vuông góc với HD tại D, nên ta có:
∠DAE + ∠DHE = 90° (11)
Từ (10) và (11), ta có ∠DHE = 90° - ∠DAE.
Vì ∠MAN = ∠DAE, nên ta có ∠MAN = 90° - ∠DHE.
Vì ME là đường cao của tam giác MAN, nên ME vuông góc với AN tại E.
Vì ME vuông góc với AN tại E và ME là đường cao của tam giác MAN, nên ME vuông góc với NE.

Vậy, ME vuông góc với NE.