a) Để chứng minh CM tứ giác BECD là hình bình hành, chúng ta cần chứng minh các cặp cạnh đối diện của nó bằng nhau và các góc trong bằng nhau.

• BE=MD (vì D là điểm đối xứng của E qua M).
• BC=EA (vì E là trung điểm của AC).

Vậy, hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.

Bây giờ, ta cần chứng minh các góc trong. Có hai cách:

• BE∥AD (vì AD và BE là hai đoạn thẳng chứa các cạnh của tam giác và BE=AD vì D là điểm đối xứng của E qua M), từ đó suy ra ∠CBE=∠CAD.
• BE∥AD nên ∠BED=∠DEA.

Do đó, CM tứ giác BECD là hình bình hành.

b) Tứ giác ABDE là hình bình hành

c) Gọi I là giao điểm của AD và BE, K là giao điểm của AM và BE.

Chúng ta có một số tam giác tương tự: AED∼BEM (do hai cặp góc tương đồng) và ACD∼CBM (do hai cặp góc tương đồng).

Từ AED∼BEM, ta có MEIK​=DBID​.

Từ ACD∼CBM, ta có DBID​=MBCM​.

Kết hợp hai phương trình trên, ta có MEIK​=MBCM​.

Ngoài ra, ta cũng có =MB/ME​=1/2​ vì E là trung điểm của AC.

Từ đó, ta có IK/ME​=CM/MB=2.

Vậy, IK/DC=2/3.