a, CM: AMHN là hcn và AH = MN
Giải thích:
Với điều kiện CM: AM = HN: MN và AH = MN, ta có CM: AM = HN: AH. Do đó, tam giác CMH và tam giác ANM là hai tam giác đồng dạng theo định lí góc-góc.
b, Gọi O là giao điểm của AH và MN, trên CN lấy P sao cho NA = NP, HN cắt MP tại I. Gọi K là trung điểm HC. CMR: MN // HP và O, I, K thẳng hàng.
Giải thích:

• Vì NA = NP, nên AP là đường trung bình của tam giác ANM và AM = AH, nên AP là đường trung bình của tam giác AHM. Từ đó, ta có H là trung điểm của MP.
• Góc CMR và góc HPM là những góc đồng quy, nên MN // HP.
• Góc OHK và góc IHG là những góc đồng quy, nên O, I, K thẳng hàng.

c, Trên tia AK lấy E sao cho K là trung điểm AE, MN cắt CE tại F. Tam giác ABC cần điều kiện gì để tam giác MFE là tam giác vuông cân.
Giải thích:
Tam giác MFE là tam giác vuông cân khi và chỉ khi MF = ME. Từ điều kiện này, ta suy ra điều kiện cần của tam giác ABC.