Để chứng minh rằng B = -1.9A có giá trị là một số nguyên, ta cần chứng minh rằng A chia hết cho 10.

Ta có công thức tổng của một dãy số hình học: S = a(1 - r^n)/(1 - r), trong đó a là số hạng đầu tiên, r là công bội và n là số lượng số hạng.

Áp dụng công thức trên vào dãy số A = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + ... + 2²⁰⁰, ta có:

A = 2(1 - 2²⁰⁰)/(1 - 2) = 2(1 - 2²⁰⁰)/(-1) = -2(1 - 2²⁰⁰)

Để chứng minh rằng A chia hết cho 10, ta cần chứng minh rằng 1 - 2²⁰⁰ chia hết cho 5.

Ta biết rằng 2²⁰⁰ = (2⁵)⁴⁰ = 32⁴⁰. Vì vậy, 1 - 2²⁰⁰ = 1 - 32⁴⁰.

Ta biểu diễn 1 - 32⁴⁰ thành (1 - 32⁴⁰) = (1 - 2⁴⁰) * (1 + 2⁴⁰ + 2⁸⁰ + ... + 2¹⁶⁰).

Ta thấy rằng 1 + 2⁴⁰ + 2⁸⁰ + ... + 2¹⁶⁰ là một dãy số hình học với a = 1, r = 2⁴⁰ và n = 4. Áp dụng công thức tổng của dãy số hình học, ta có:

1 + 2⁴⁰ + 2⁸⁰ + ... + 2¹⁶⁰ = 1(1 - 2⁴⁰)/(1 - 2) = (1 - 2⁴⁰)/(-1) = -1(1 - 2⁴⁰) = 2⁴⁰ - 1.

Vậy, 1 - 2²⁰⁰ = (1 - 2⁴⁰) * (2⁴⁰ - 1).

Ta thấy rằng (1 - 2⁴⁰) chia hết cho 5 vì 2⁴⁰ chia hết cho 5 (vì 2⁴⁰ = (2⁵)⁸ chia hết cho 5). Vì vậy, (1 - 2²⁰⁰) chia hết cho 5.

Do đó, A = -2(1 - 2²⁰⁰) chia hết cho 10.

Vậy, B = -1.9A = -1.9(-2(1 - 2²⁰⁰)) = 3.8(1 - 2²⁰⁰).

Ta thấy rằng (1 - 2²⁰⁰) chia hết cho 5. Vì vậy, (3.8)(1 - 2²⁰⁰) chia hết cho 5.

Vậy, B = -1.9A có giá trị là một số nguyên.