Để chứng minh mệnh đề này, ta sẽ sử dụng tính chất của phép chia và các phép toán đại số.

Giả sử \( 7x + 9y \equiv 0 \mod 13 \), nghĩa là \( 7x + 9y = 13k \) với \( k \) là một số nguyên.

Ta muốn chứng minh rằng \( x + 5y \equiv 0 \mod 13 \).

Bắt đầu từ phương trình \( 7x + 9y = 13k \), ta có thể lập các hệ số đối với \( x \) và \( y \):

1. Từ \( 7x + 9y = 13k \), ta cộng thêm \( 5y \) vào hai vế để biến đổi:
\[
7x + 9y = 13k \implies 7x + 9y + 5y = 13k \implies 7x + 14y = 13k
\]

2. Trong công thức trên, ta có thể viết lại \( 14y \):
\[
14y \equiv y \mod 13
\]
Bởi vì \( 14 \equiv 1 \mod 13 \).

3. Do đó, ta có:
\[
7x + y \equiv 0 \mod 13
\]

4. Tiếp theo, chúng ta giải phương trình này theo \( x \):
\[
7x \equiv -y \mod 13
\]

5. Áp dụng tính chất nghịch đảo trong modulo, ta có thể nhân cả hai bên của phương trình với \( 2 \) (vì \( 2 \) là nghịch đảo của \( 7 \mod 13 \)):
\[
x \equiv -2y \mod 13
\]

6. Giờ ta thay giá trị của \( x \) vào trong \( x + 5y \):
\[
x + 5y \equiv -2y + 5y \mod 13 \equiv 3y \mod 13
\]

7. Để kết thúc, cần chứng minh \( 3y \equiv 0 \mod 13 \) với \( y \) là số chia hết, mà rõ ràng điều này không chính xác. Vì vậy không thể khẳng định được chắc chắn.

Một cách khác để luận điểm là nếu \( y \equiv k \mod 13 \), thì \( x \equiv (-2k) \mod 13 \), mà không thể đưa ra điều kiện chắc chắn cho \( x\).

Như vậy, ta thấy rằng kết luận không hoàn toàn chính xác. Chỉ có thể kết luận rằng trong các trường hợp cụ thể, có thể có các giá trị thỏa mãn.

Tóm lại, mệnh đề này không nhất thiết phải đúng dưới các giả thiết đã đưa ra.