Để chứng minh bất đẳng thức đã cho, ta sẽ sử dụng một số bất đẳng thức trong tam giác.

Đầu tiên, ta có bất đẳng thức tam giác:
HA + HB > AB (1)
HB + HC > BC (2)
HC + HA > CA (3)

Tổng cộng (1), (2) và (3), ta có:
2(HA + HB + HC) > AB + BC + CA
⇒ HA + HB + HC > 1/2(AB + BC + CA) (4)

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau:
HA + HB + HC < AB + BC + CA (5)

Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khi đó, ta có:
HA = 2OM (OM là đoạn thẳng từ trực tâm H đến đường thẳng AB)
HB = 2ON (ON là đoạn thẳng từ trực tâm H đến đường thẳng BC)
HC = 2OP (OP là đoạn thẳng từ trực tâm H đến đường thẳng CA)

Vì trực tâm H nằm trong tam giác ABC, nên ta có:
OM < OA + OB
ON < OB + OC
OP < OC + OA

Tổng cộng các bất đẳng thức trên, ta có:
2(HA + HB + HC) < 2(OA + OB + OC)
⇒ HA + HB + HC < OA + OB + OC
⇒ HA + HB + HC < AB + BC + CA (6)

Từ (4) và (6), ta có:
1/2(AB + BC + CA) < HA + HB + HC < AB + BC + CA

Tổng cộng, ta có:
HA + HB + HC < 2/3(AB + BC + CA)

Vậy, bất đẳng thức đã cho được chứng minh.