Để chứng minh rằng a+b+c khác 0, ta sẽ giả định ngược lại rằng a+b+c = 0 và chứng minh rằng điều này dẫn đến mâu thuẫn.

Giả sử a+b+c = 0, ta có thể viết lại phương trình ban đầu như sau:

a^2/(b+c) + b^2/(c+a) + c^2/(a+b) = 0

Thay a = -b-c vào phương trình trên, ta được:

(-b-c)^2/(b+c) + b^2/(c-b) + c^2/(b-c) = 0

Simplifying the equation, we get:

(b^2 + 2bc + c^2)/(b+c) + b^2/(c-b) + c^2/(b-c) = 0

Tiếp theo, ta nhân mỗi phần tử trong phân số đầu tiên với (c-b), phân số thứ hai với (b+c), và phân số thứ ba với (b+c):

(b^2 + 2bc + c^2)(c-b)/(b+c) + b^2(b+c)/(c-b) + c^2(b+c)/(b-c) = 0

Simplifying the equation further, we get:

(b^2 + 2bc + c^2)(c-b) + b^2(b+c)^2 + c^2(b+c)(b-c) = 0

Expand the equation:

b^3 - b^2c + 2b^2c - 2bc^2 + bc^2 - c^3 + b^4 + 2b^3c + b^2c^2 + b^2c^2 + c^2b^2 - c^3b - c^4 = 0

Combine like terms:

b^4 + 2b^3c + 2b^2c^2 + c^2b^2 - b^2c - 2bc^2 - c^3b - c^4 = 0

Rearrange the terms:

b^4 + 2b^3c + b^2c^2 - b^2c + c^2b^2 - 2bc^2 - c^3b - c^4 = 0

Factor out b:

b(b^3 + 2b^2c + bc^2 - bc + c^2b - 2c^2 - c^3 - c^3) = 0

Since a, b, c are real numbers, this equation must hold true for all values of b. Therefore, we can set the expression in parentheses equal to zero:

b^3 + 2b^2c + bc^2 - bc + c^2b - 2c^2 - c^3 - c^3 = 0

Rearrange the terms:

b^3 + 2b^2c + c^2b - c^3 + bc^2 - bc - 2c^2 - c^3 = 0

Combine like terms:

b^3 + (2c + c^2)b - (c^3 + c^3 + bc + 2c^2) = 0

Since this equation must hold true for all values of b, the coefficients of b must be equal to zero:

2c + c^2 = 0

Solve this quadratic equation for c:

c^2 + 2c = 0

c(c + 2) = 0

c = 0 or c = -2

If c = 0, then a+b+c = a+b+0 = a+b = 0, which contradicts our assumption that a+b+c ≠ 0.

If c = -2, then a+b+c = a+b-2 = 0, which also contradicts our assumption.

Therefore, our assumption that a+b+c = 0 is false, and we can conclude that a+b+c must be different from zero.