Cho đường tròn tâm O có hai đường kính AB CD vuông góc với nhau. Gọi M là một điểm di động trên đoạn OB M khác A,B. Tia CM cắt BD tại P và cắt đường tròn tâm O tại N. Gọi Q là giao điểm của AN và CD. Chứng minh ..

a) Ta có:
- Vì AB và CD vuông góc với nhau nên tam giác ABC và tam giác CDA là tam giác vuông cân tại A và D.
- Vì M di chuyển trên đoạn OB nên tam giác OMB là tam giác cân tại O.
- Từ đó suy ra, OM là trung tuyến của tam giác ABC và tam giác CDA.
- Vì OM là trung tuyến nên ta có: AM = MB và DM = MC.
- Từ đó suy ra, tam giác MCD và tam giác MAB là tam giác cân tại M.
- Vì tam giác MCD và tam giác MAB có cạnh chung là MC và MA nên chúng đồng dạng.
- Vì chúng đồng dạng nên góc MCD = góc MAB.
- Từ đó suy ra, góc MCD + góc MAB = 180°.
- Vì góc MCD + góc MAB = 180° nên tứ giác DQPN là tứ giác nội tiếp.

- Ta có: góc DPN = góc DQN (cùng nằm trên cùng một cung DN của đường tròn tâm O) = góc DAN (cùng nằm trên cùng một cung DN của đường tròn tâm O) = góc BAN (do AN song song với CD) = góc BPN (cùng nằm trên cùng một cung BP của đường tròn tâm O).
- Vì góc DPN = góc BPN nên PQ song song với AB.

Vậy tứ giác DQPN nội tiếp và PQ song song với AB.

b) Ta có:
- Vì tam giác MCD và tam giác MAB đồng dạng nên tỉ số giữa diện tích tam giác MCD và diện tích tam giác MAB bằng tỉ số giữa cạnh tương ứng của chúng.
- Vì tam giác MCD và tam giác MAB có cạnh chung là MC và MA nên tỉ số giữa diện tích tam giác MCD và diện tích tam giác MAB bằng tỉ số giữa cạnh MC và cạnh MA.
- Vì MC = DM nên tỉ số giữa diện tích tam giác MCD và diện tích tam giác MAB bằng 1.
- Từ đó suy ra, diện tích tứ giác ACMQ không đổi khi M thay đổi trên OB.

c) Ta có:
- Vì tam giác CQN và tam giác CDA đồng dạng nên tỉ số giữa cạnh CN và cạnh CD bằng tỉ số giữa cạnh CQ và cạnh CA.
- Vì tam giác CQN và tam giác CAB đồng dạng nên tỉ số giữa cạnh CN và cạnh CA bằng tỉ số giữa cạnh CQ và cạnh CB.
- Từ đó suy ra, tỉ số giữa cạnh CN và cạnh CD bằng tỉ số giữa cạnh CQ và cạnh CB.
- Vì tỉ số giữa cạnh CN và cạnh CD không đổi nên tỉ số giữa cạnh CQ và cạnh CB cũng không đổi.
- Từ đó suy ra, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CQN luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên OB.

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CQN luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên OB.