Để chứng minh rằng ac/bd = 2023aa + 2024cc/2023bb + 2024dd, ta sẽ sử dụng định lí nhân tử chung.

Cho a/b = c/d, ta có:

ad = bc

Ta nhân cả hai vế của phương trình này với bd, ta được:

ad * bd = bc * bd

ab * d^2 = bc * d^2

(a * d)^2 = (b * c) * (d^2)

Đặt x = a * d và y = b * c, ta có:

x^2 = y * (d^2)

Từ đây, ta có thể viết lại phương trình ban đầu:

ac/bd = (x^2)/(y * d^2)

Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh rằng:

(x^2)/(y * d^2) = 2023aa + 2024cc/2023bb + 2024dd

Đầu tiên, ta sẽ chứng minh rằng:

(x^2)/(y * d^2) = 2023aa

Từ phương trình ban đầu, ta có:

ad * bd = bc

(a * d)^2 = (b * c) * (d^2)

x^2 = y * (d^2)

Do đó, x^2/y = d^2

Vậy, ta có:

(x^2)/(y * d^2) = (x^2)/(y * x^2/y) = x^2/y = d^2

Từ đây, ta có:

d^2 = 2023aa

Tương tự, ta có thể chứng minh rằng:

(x^2)/(y * d^2) = 2024cc/2023bb + 2024dd

Từ phương trình ban đầu, ta có:

ad * bd = bc

(a * d)^2 = (b * c) * (d^2)

x^2 = y * (d^2)

Do đó, x^2/y = d^2

Vậy, ta có:

(x^2)/(y * d^2) = (x^2)/(y * x^2/y) = x^2/y = d^2

Từ đây, ta có:

d^2 = 2024cc/2023bb + 2024dd

Vậy, ta đã chứng minh được rằng ac/bd = 2023aa + 2024cc/2023bb + 2024dd.