1) Ta có:
- Vì M, N là các điểm trên đường tròn (O;R) nên OM và ON là các tiếp tuyến của đường tròn (O;R).
- Vì A nằm ngoài đường tròn (O;R) nên góc MON là góc nội tiếp của tam giác OMN. Do đó, góc MON bằng góc MNA.
- Vì M, N là các điểm trên đường tròn (O;R) nên góc MNA là góc nội tiếp của tam giác MAN. Do đó, góc MNA bằng góc MAN.
Từ các quan sát trên, ta có AM là tiếp tuyến của đường tròn (O;R).
- Gọi I là giao điểm của AM và ON. Ta cần chứng minh H thuộc đường tròn đường kính AO, tức là OH = OA.
- Vì H là trung điểm của BC nên OH song song với BC và OH = 1/2BC.
- Ta có: BC là đường kính của đường tròn (O;R) nên BC = 2R.
- Vậy OH = 1/2BC = R = OA.
- Do đó, H thuộc đường tròn đường kính AO.

2) Ta có:
- Vì B, C là các điểm trên đường tròn (O;R) nên góc BOC là góc nội tiếp của tam giác BOC. Do đó, góc BOC bằng góc BAC.
- Vì B, C là các điểm trên đường tròn (O;R) nên góc BAC là góc nội tiếp của tam giác BAC. Do đó, góc BAC bằng góc BCA.
Từ các quan sát trên, ta có góc BOC = góc BCA.
- Gọi D là giao điểm của BM và ON. Ta cần chứng minh góc AHN = góc BDN.
- Vì AM là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) nên góc AMN = góc BAC.
- Vì AM là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) nên góc AMN = góc MNA.
- Vì M, N là các điểm trên đường tròn (O;R) nên góc MNA = góc BNA.
Từ các quan sát trên, ta có góc AMN = góc BNA.
- Vì D là giao điểm của BM và ON nên góc BDN = góc AMN.
Từ các quan sát trên, ta có góc AHN = góc BDN.
- Vì B, C là các điểm trên đường tròn (O;R) nên góc BOC = góc BCA.
- Vì B, C là các điểm trên đường tròn (O;R) nên góc BOC = góc BCA.
Từ các quan sát trên, ta có DH // MC.