Cho tam giác ABC nhọn đường cao AH gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm H xuống các cạnh AB,AC..

A) CMR: Tứ giác AEHF nội tiếp

Ta có:
- AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC.
- E là hình chiếu vuông góc của H xuống AB, nên AE vuông góc với AB.
- F là hình chiếu vuông góc của H xuống AC, nên AF vuông góc với AC.

Vậy tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp.

B) CMR: AE.AB=AF.AC

Ta có:
- Tứ giác AEHF nội tiếp, nên theo định lí Ptolemy, ta có: AE.AF + AH.EF = AF.AE
- Vì AH vuông góc với BC, nên AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH^2 = BH.CH
- Vì E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H xuống AB và AC, nên EF là đường cao của tam giác ABC, nên EF^2 = BF.CF

Kết hợp hai công thức trên, ta có: AE.AF + BH.CH = AF.AE + BF.CF

Vì tứ giác AEHF nội tiếp, nên AE.AF = BF.CF, nên ta có: BH.CH = AF.AE

Vậy AE.AB = AF.AC.

C) CMR: tam giác AFE~tam giác ABC

Ta có:
- Tứ giác AEHF nội tiếp, nên góc AFE = góc AHE và góc AEF = góc AHF.
- Góc AHE = góc ABC và góc AHF = góc ACB (do AH là đường cao của tam giác ABC).
- Vậy tam giác AFE có hai góc bằng nhau với hai góc của tam giác ABC, nên tam giác AFE ~ tam giác ABC.

D) CMR: tứ giác BEFC nội tiếp

Ta có:
- AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC.
- E là hình chiếu vuông góc của H xuống AB, nên BE vuông góc với AB.
- F là hình chiếu vuông góc của H xuống AC, nên CF vuông góc với AC.

Vậy tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp.