a) Ta có:
\(\angle BMD = 90^\circ - \angle MBD = 90^\circ - \angle ABC = \angle A\)
Vậy ta có \(\angle BMD = \angle A\).
Tương tự, ta có \(\angle CME = \angle A\).
Do đó, ta có \(\angle BMD = \angle CME = \angle A\).
Vậy tam giác BMD và tam giác CME đều đồng dạng với tam giác ABC.
Từ đó, ta có:
\(\frac{BD}{BC} = \frac{BM}{AB} = \frac{1}{2}\)
\(\frac{CE}{BC} = \frac{CM}{AC} = \frac{1}{2}\)
Do đó, ta có \(BD = CE\).
Vậy tam giác BDH = tam giác DAK.

b) Ta có:
\(HN^2 = HD^2 + DN^2 = \left(\frac{BD}{2}\right)^2 + \left(\frac{CN}{2}\right)^2 = \frac{BD^2 + CN^2}{4}\)
\(AN \cdot CN = CN \cdot (CN + ND) = CN^2 + CN \cdot ND = CN^2 + DN^2 = CN^2 + HD^2\)
Vậy ta có \(HN^2 = AN \cdot CN\).