Để chứng minh rằng \(A < \frac{4}{5}\), ta sẽ so sánh tổng \(A\) với một tổng gần đúng hơn mà ta có thể tính toán dễ dàng hơn. Ta có: \[\frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} = \frac{2n+1}{n(n+1)} = \frac{2n+1}{n^2+n}\] Vậy: \[A = \frac{1}{31} + \frac{1}{32} + \frac{1}{33} + ... + \frac{1}{59} + \frac{1}{60}\] \[A = \left(\frac{1}{31} + \frac{1}{32}\right) + \left(\frac{1}{33} + \frac{1}{34}\right) + ... + \left(\frac{1}{59} + \frac{1}{60}\right)\] \[A = \frac{62}{31 \times 32} + \frac{66}{33 \times 34} + ... + \frac{120}{59 \times 60}\] Ta thấy rằng: \[\frac{62}{31 \times 32} = \frac{2 \times 31}{31 \times 32} = \frac{2}{32} = \frac{1}{16}\] \[\frac{66}{33 \times 34} = \frac{2 \times 33}{33 \times 34} = \frac{2}{34} = \frac{1}{17}\] \[\frac{70}{35 \times 36} = \frac{2 \times 35}{35 \times 36} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}\] ... \[\frac{120}{59 \times 60} = \frac{2 \times 60}{59 \times 60} = \frac{2}{59} < \frac{2}{60} = \frac{1}{30}\] Vậy ta có: \[A < \frac{1}{16} + \frac{1}{17} + \frac{1}{18} + ... + \frac{1}{30}\] Đặt \(B = \frac{1}{16} + \frac{1}{17} + \frac{1}{18} + ... + \frac{1}{30}\), ta cần chứng minh rằng \(B < \frac{4}{5}\). Ta có: \[B = \frac{1}{16} + \frac{1}{17} + \frac{1}{18} + ... + \frac{1}{30} < \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + ... + \frac{1}{16} = \frac{15}{16}\] Vậy: \[A < B < \frac{15}{16} < \frac{4}{5}\] Vậy ta đã chứng minh được rằng \(A < \frac{4}{5}\).