Cho đường tròn(O:R)có đường kính BC

a) Ta có:
\[\angle SAB = \angle SBA \quad (\text{cùng chắn})\]
\[\angle SOA = 90^\circ \quad (\text{tiếp tuyến từ điểm ngoài vào đường tròn})\]
Vậy tứ giác SAOB nội tiếp và SO vuông góc AB.

b) Ta có:
\[\angle SDE = \angle SEA = \angle SAE = \angle SDB \quad (\text{cùng chắn})\]
Vậy tứ giác SDEB nội tiếp. Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác SDEB:
\[SB \cdot DE = SD \cdot BE + SE \cdot BD\]
Vì DE = 2SD, BE = 2SE, BD = 2SB nên:
\[SB^2 = SD \cdot SE\]

c) Ta có:
\[\angle SKE = \angle SAE = \angle SDE\]
Vậy tứ giác SDEK nội tiếp. Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác SDEK:
\[SD \cdot KE = SE \cdot DK + SK \cdot DE\]
Vì KE = 2SI, DK = 2SD, DE = 2SD nên:
\[SD \cdot SE = SK \cdot SI\]

d) Ta có:
\[\angle SFE = \angle SEA = \angle SAE = \angle SDE\]
Vậy tứ giác SFDE nội tiếp. Do đó:
\[\angle AFE = \angle SFE = \angle SDE = \angle SAE = \angle SAB = \angle B\]
Vậy A, B, F thẳng hàng.