Giải:

a) Ta có BM là trung tuyến của tam giác ABC cân tại A nên BM = AM. Góc MBC = góc NCB (do BM là trung tuyến) nên tam giác MBC và tam giác NCB đồng dạng. Do đó, ta có BM = CN.

b) Ta có BM = CN (đã chứng minh ở câu a). Gọi O là giao điểm của BM và CN. Ta cần chứng minh BO = CO.

Áp dụng định lí góc nội tiếp, ta có:

Góc MBC = góc NCB (điều đã cho)

Góc BMC = góc BCN (do BM là trung tuyến)

Vậy tam giác BMC và tam giác BCN đồng dạng.

Do đó, ta có:

\[\frac{BO}{CO} = \frac{BM}{CN} = 1\]

Vậy BO = CO.

c) Gọi I là trung điểm của AC. Ta cần chứng minh A, I, E thẳng hàng.

Áp dụng định lí trung tuyến, ta có BI song song với AE và BM song song với CI.

Do đó, ta có góc BIC = góc BAE = góc BAC = 90 độ.

Vậy A, I, E thẳng hàng.